Engineering mathematics(2) 高校数学から大学初歩へ

ニコラ・テスラの電磁気, 永久機関

スタインメッツ全集1つめのEngineering mathematicsを読んできます。続きです。中学生から高校数学くらいになってきましたが、大学初歩くらいに突入します。意外と自分自身しっかりと理解していない部分で発見があり、面白いです。

vol1 Engineering mathematics


General Numbers.

一般数(複素数)

12. 正の数と負の数によって、数直線のすべての点は、選択した点Aからの距離として数値で表すことができます。

また、直交数によって、平面全体全ての点を選択した座標軸xおよびy座標からの距離として表すことができます。このように、図7における平面上の点Pは水平距離 \(\overline{OB} = +3\), 垂直距離 \(\overline{BP} = +2j\)であり、距離の組み合わせとして表すことができます。

便宜上、直交するこのような2つの距離を組み合わせる動作はプラス記号で表すことができ、それによって組み合わせの結果は\(\overline{OB}  +\overline{BP} = 3+2j\)で表されます。

このような通常の数と直交数の組み合わせは、一般数または複素数と呼ばれます。

したがって、直交数\(jb\)は、2次元平面の数値表現を一般数\(a+bj\)で表現することにより、代数の有用性を大幅に拡張します。 これらは、電気工学において特に有用で重要です。交流電流のほとんどの問題は平面内のベクトル表現につながるため、一般数\(a+bj\)、つまり通常数または水平距離\(a\)と 直交数または垂直距離\(jb\)の組み合わせによって表現されます。

 

分析的に、平面内の点は、水平座標(横座標x)と垂直座標(縦座標y)の2つの座標で表されます。 代数的に、一般的な数\(a + jb\)では、両方の座標が結合されます。\(a\)はx座標、\(jb\)はy座標です。

したがって、図8では、点の座標は、

$$
\begin{align}
&P_1: \ x = +3, \ y=+2 \hspace{15px} P_2: \ x = +3, \ y = -2 \\\\
&P_3: \ x = -3, \ y=+2 \hspace{15px} P_4: \ x = -3, \ y = -2 \\\\
\end{align}
$$

であり、平面上の点を複素数で表示すると、

$$
\begin{align}
&P_1= 3+2j  \hspace{7px} P_2= 3-2j  \hspace{7px} P_3= -3+2j  \hspace{7px} P_4= -3-2j 
\end{align}
$$

13. すでに負の数の平方根が直交数を与えることで数の体系を拡張しているため、負の数の冪乗根から数の体系のさらなる拡張が生じるかどうかという疑問が生じます。

例えば、

$$
\begin{align}
&\sqrt[4]{-1} = ?
\end{align}
$$

\(\sqrt[4]{-1}\)の意味は、\(\sqrt[2]{-1}\)と全く同じように見つけられます。

正の数aはPとして水平軸上に表わすことができます。

aに\(\sqrt[4]{-1}\)を掛けることで得られる、\(a \sqrt[4]{-1}\)が持つ意味はまだわかりません。年度も\(\sqrt[4]{-1}\)を掛けることで、4回の乗算後、\(a (\sqrt[4]{-1})^4 = -a\)になります。このように、4回掛けることで、aから-aになり、180°回転するので、\(a \sqrt[4]{-1}\)は\(\frac{180}{4} = 45°\)の回転を意味します。それゆえ、\(a \sqrt[4]{-1}\)は図9における\(P_1\)を示し、座標の中心から距離aで、角度45°の場所にあり、座標で\(x = \frac{a}{\sqrt{2}} \ and \ y = \frac{a}{\sqrt{2}} j \)の位置にあり、一般数で表現すると、

$$
\begin{align}
&P_1 = a\frac{1+j}{\sqrt{2}}
\end{align}
$$

\(a \sqrt[4]{-1}\)はしかしながら、135°回転、\(P_2\)前の回転を意味する場合もあります。なぜなら、4回掛けると \(4 \times 135 = 540 °\)になり、これは180°と同じだからです。225°の回転も、315°の回転も同じようになります。このように、\(a \sqrt[4]{-1}\)を表す4つの点が存在します。

$$
\begin{align}
&P_1= \frac{+1+j}{\sqrt{2}} a  , \hspace{7px} P_2= \frac{-1+j}{\sqrt{2}} a \\\\
&P_3= \frac{-1-j}{\sqrt{2}} a ,  \hspace{7px} P_4= \frac{+1-j}{\sqrt{2}} a
\end{align}
$$

したがって、\(a \sqrt[4]{-1}\)は一般数であり、通常の数字と直交数で構成されているため、数字のシステムはこれ以上拡張されません。

同様に、\(a \sqrt[n]{+1}\)が見つかります。 それはn回掛けて+1を与える数です。したがって、\(\frac{360}{n}\)の回転またはその倍数の回転を意味します。 つまり、x座標は\(\cos q \times \frac{360}{n}\)で、 y座標は\(\sin q \times \frac{360}{n}\)であり、

$$
\begin{align}
&a \sqrt[n]{+1} = \cos q \times \frac{360}{n} + j \ \sin q \times \frac{360}{n}
\end{align}
$$

qは任意の整数です。

したがって、\(a \sqrt[n]{+1}\)にはn個の異なる値があり、図10のn = 9に示すように、半径1の円上に等距離にあります。

 

14. 加算の操作\(a+b=c\)では、aとbが与えられ、cを見つけます。
加算において、aとbは、\(a+b=b+a\)のように、交換可能、または同等であるため、加算には
1つだけの逆演算、減算があります。 cとbが与えられると、\(a=c-b\)のように、aが見つかります。 また、cとaが与えられた場合、bが見つかるため、\(b=c-a\)になります。どちらも同じ演算つまり、減算につながります。

乗算の場合も同じです。\(a \times b = c\)。因子aとbは、交換可能または\(a \times b = b \times a\)のように、同等です。 そして、逆の操作、除算は、\(a = \frac{b}{c}\)であり、同じように\(b = \frac{a}{c}\)です。

しかし、冪乗では、\(a^b = c\)での2つの数aとbは交換不可能で、\(a^b \)と\(b^a\)は等しくありません。例えば、\(4^3 = 64 \ and \ 3^4 = 81\)。

したがって、冪乗には2つの逆の操作があります。cとbが与えられた時、aは、

$$
\begin{align}
&a = \sqrt[b]{c}
\end{align}
$$

すなわち、冪乗根であり、

cとaが与えられた時、bは

$$
\begin{align}
&b = \log_{a} c
\end{align}
$$

すなわち、対数になる。


Logarithmation.

対数

15. したがって、対数は冪乗の逆演算の1つであり、対数は冪乗の指数です。 したがって、対数関数は指数関数に、また逆に変更でき、対数の法則は指数が従う冪乗の法則に従います。

法則1 : 等しい底の冪乗は、乗算が加算で計算できるため、\(a^b \times a^n = a^{a+n}\)、対数の因子同士の乗算は加算で計算できます。

$$
\begin{align}
&\log_{a} (c \times d) = \log_{a} c + \log_{a} d
\end{align}
$$

法則2 : 累乗が累乗は乗算で計算できるため、\((a^b)^n = a^{bn}\)、べき乗の対数は、指数に底の対数を掛けたものなので、対数にnを掛けることで、対数の下の数値をn乗します。

$$
\begin{align}
&\log_{a} (c^n) = n \log_{a} c
\end{align}
$$

\(a^0 = 1\)であるため、\(\log_{a} 1 = 0\)です。底 a > 1の場合、さらに c > 1の時\(\log_{a} c\)は正で、0 < c < 1 の場合はになります。 a < 1の場合は逆です。したがって、対数はcが正の範囲で、すべての正および負の値を取ります。したがって、負の数の対数は正でも負でもありません。

\(\log_{a} (-c) = \log_{a} c + \log_{a} (-1)\)、なので、負の数の対数を見つけるという問題は、\(\log_{a} (-1)\)の値を見つけることができれば解決できる。

対数には2つの標準システムがあり、1つは底 \(\epsilon = 2.71828…)で、もう一つは底 10が 使用され、前者は代数、後者は数値計算に使用されます。任意の底aの対数は、他の底に簡単に変換できます。

たとえば、\(b = \log_{a} c\)を底10にするには、\(b = \log_{a} c\)は、冪乗の形式で、\(a^b =  c \)を意味します。 この両辺から対数を取ると、

$$
\begin{align}
&b = \frac{\log_{10} c}{\log_{10} a} ; \hspace{5px} or \hspace{5px} \log_{a} c = \frac{\log_{10} c}{\log_{10} a}
\end{align}
$$

となり、したがって、負の数の対数に関しては、\(\log_{10} (-1)\)または\(\log_{\epsilon} (-1)\)のみを考慮します。

もし、

$$
\begin{align}
& jx = \log_{\epsilon} (-1), \ then \ \epsilon^{jx} = -1
\end{align}
$$

だとすると、第2章で見られるように、

$$
\begin{align}
& \epsilon^{jx} = \cos x + j \ \sin x
\end{align}
$$

となり、

$$
\begin{align}
&  \cos x + j \ \sin x = -1 \\\\
& ( x = (2n+1) \pi)
\end{align}
$$

となるので、

$$
\begin{align}
&  \log_{\epsilon} (-1) = j\pi(2n+1) \\\\
\end{align}
$$

nは任意の整数です。

対数は直交数にもつながりますが、数字の体系はそれ以上拡張されません。


Quaternions.

四元数

16. したがって、加算と減算、乗算と除算、冪乗と冪乗根、および対数はすべての代数演算を表し、すべての条件下でこれらすべての演算を実行できる数の体系は一般数の体系であり、\(a + jb\)は実数\(a\)および直交数\(jb\)で構成されます。 数aとbは正でも負でもよく、整数、分数、または無理数でもかまいません。

直交数\(jb\)の導入により、数体系の適用が線、またはより一般的な1次元量から平面、または2次元量に拡張されたため、数字のシステムを3次元にさらに拡張して、空間を表すことができます。 電気工学では、ほとんどの問題は平面の図形、平面内のベクトル図のみにつながりますが、時折空間図形は代数的に表現できれば有利です。 特に力学では、空間内のベクトルとして力を扱うときにこれが重要になります。

四元数では、空間の問題に対処するための計算法が考案されました。 しかし、四元数計算では、一般数、または複素数と比べて、同等の工学的応用はまだ見つかっていません。 その理由は、四元数が代数的な量ではなく、代数の法則が一様に適用されないためです。

17. 図11の平面の直交座標系では、x軸は通常の数を表し、y軸は直交数を表し、\(j = \sqrt{-1}\)の乗算は90°の回転を表します。例えば、点\(P_1\)が、\(a + jb = 3+2j\)であり、\(P_2\)は\(P_1\)を90°回転した点とすると、

$$
\begin{align}
&  P_2 = jP_1 = j(a+jb) = j(3+2j) = -2+3j
\end{align}
$$

空間に拡張するには、図12の図に示すように、3番目の軸またはz軸を追加する必要があります。平面xyで90度、+xから+yの方向の回転を、\(j\)の乗算で表します。同じように、yz平面で90度、+ yから+ zの方向の回転を、\(h\)との乗算表されます。zx平面では、+ zから+ xの方向の回転がkで表されます。

図12に示すように、+ xから始まり、+y, +z、そして+xに進むとき、\(j,h,k\)による連続乗算を意味します。 そして、開始点に戻るので、全体の演算は変化を生じません。つまり、(+ 1)による乗算を表します。したがって、

$$
\begin{align}
& jhk = +1
\end{align}
$$

代数的にこれは不可能です。3つの量はそれぞれ\(\sqrt{-1}\)であり、そして\(\sqrt{-1} \times \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = – \sqrt{-1}\)であり、(+1)にはなりません。

xから再び正の回転に進み、xz平面で最初に回転すると、図13に示すように、負のz軸、-zにkを乗算することで到達します。hをさらに乗算すると+y になります 、jの乗算で-xに。この場合、図12と同じ方向に、しかし異なる順序で、90度ずつ3回連続して回転した結果は逆になります。 つまり、(-1)を表します。 したがって、

$$
\begin{align}
& khj = -1
\end{align}
$$

そして、

$$
\begin{align}
& jhk = -kjh
\end{align}
$$

したがって、空間のベクトル解析では、代数の基本法則、

$$
\begin{align}
& a \times b = b \times a
\end{align}
$$

が成立せず、また、乗算の順序は重要ではありませんが、jhkの因子の順序を変更することにより、その符号は逆になります。 したがって、代数のように一般的な因子をキャンセルすることはできません。 たとえば、正しい式jhk = khjで、代数でできるようにj、h、kでキャンセルする必要がある場合、+ 1 = -1になります。これは明らかに間違っています。

このため、空間でのベクトル解析のために考案されたすべてのメカニズムは、それらのアプリケーションではより困難であることが証明されており、エンジニアリングの実践ではまだあまり使用されていません。

四元数は空間の回転をうまく扱うことができ、回転に対して応用がされています。一般的にはi,j,kで表されますが、ここでも電流がiなのでj,h,kになっているようです。もう少し詳しい説明は、EMANの物理学の物理数学あたりを見てみてください。

B. ALGEBRA OF THE GENERAL NUMBER, OR COMPLEX QUANTITY.
Rectangular and Polar Coordinates

直交座標および極座標
18. 一般数、または複素数\(a+jb\)は、代数の法則が適用される最も一般的な表現です。 したがって、通常の基本算術演算と同じ方法で同じルールで処理できます。 留意する必要がある唯一の機能は、\(j^2 = -1\)であり、乗算またはその他の演算で\(j^2\)が発生する場合、その値-1で置き換えられることです。 したがって、たとえば、
$$
\begin{align}
(a + jb)(c+jd) &= ac + jad + jbc + j^2 bd \\\\
&=ac + jad + jbc -bd \\\\
&=(ac-bd)+j(ad+bc)
\end{align}
$$
ここから、jのすべてのより高いべき乗を排除できることになるため、次のようになります。
$$
\begin{align}
(a + jb)(c+jd) &= ac + jad + jbc + j^2 bd \\\\
&=ac + jad + jbc -bd \\\\
&=(ac-bd)+j(ad+bc)
\end{align}
$$
$$
\begin{align}
&j^1= +j, \hspace{5px} j^2= -1, \hspace{5px} j^3= -j, \hspace{5px} j^4= +1 ; \\\\
&j^5=+ j, \hspace{5px} j^6= -1, \hspace{5px} j^7= -j, \hspace{5px} j^8= +1 ; \\\\
&j^9= +j, … etc.
\end{align}
$$
一般数または複素数とは異なり、通常の数+ aおよび-aは、時々スカラーまたは実数と呼ばれます。 したがって、一般数はスカラーまたは実数と直交数または虚数の組み合わせで構成されます。
直交数は通常の数と等しくできないため、2つの一般的な数が等しい場合、その実数成分または通常の数、および直交数または虚数成分が等しくなければなりません。
もし、
$$
\begin{align}
& a + jb = c+jd
\end{align}
$$
この時、
$$
\begin{align}
& a=c \hspace{3px} and \hspace{3px} b=d
\end{align}
$$
したがって、一般数を含むすべての方程式は、2つの方程式に解決できます。1つの方程式は通常の数値のみを含み、もう1つの方程式は直交数のみを含みます。たとえば、
$$
\begin{align}
& x + jy = 5 – 3j
\end{align}
$$
の場合、
$$
\begin{align}
& x=5 \hspace{3px} and \hspace{3px} y=-3
\end{align}
$$
19. 一般数とそれに伴う代数演算の概念を得る最良の方法は、一般数を平面の点を表すと考えることです。 したがって、一般数\(a+jb = 6 + 2.5j\)は、y軸からの水平距離\(\overline{OA} = \overline{BP} = a = 6\)とx軸からの垂直距離\(\overline{OB} = \overline{AP} = b = 2.5\)を持つ図14の点Pを表すと考えることができます。
座標中心からの点Pの合計距離は、
$$
\begin{align}
\overline{OP} &= \sqrt{\overline{OA} + \overline{AP}}=\sqrt{6^2+2.5^2} \\\\
&=\sqrt{a^2+b^2}=6.5
\end{align}
$$
そして、この距離OPがx軸となす角度が、
$$
\begin{align}
\tan \theta &= \frac{\overline{AP}}{\overline{OA}} = \frac{2.5}{6} \\\\
&=\frac{b}{a} = 0.417.
\end{align}
$$
\(a + jb\)の形式で2つの要素aとbで一般的な数を表す代わりに、2つの量で表すこともできます。
中心Oからの点Pの距離、
$$
\begin{align}
&c = \sqrt{a^2 + b^2}
\end{align}
$$
この距離とx軸の間の角度、
$$
\begin{align}
&\tan \theta = \frac{b}{a}
\end{align}
$$
次に、図14を参照してください。
$$
\begin{align}
&a = c \cos \theta \hspace{3px} and \hspace{3px} b=c \sin \theta
\end{align}
$$
また、一般数\(a + jb\)の形式でも記述できます。
$$
\begin{align}
&c (\cos \theta + j \sin \theta)
\end{align}
$$

\(a + jb\)という形式は、一般数をその長方形要素aおよびbで表し、幾何解析の長方形座標に対応します。 aはx座標、bはy座標です。
形式\(c(\cos \theta + j \sin \theta\)は、極成分と呼ばれることもある半径cと角度\(\theta\)で一般数を表し、幾何解析の極座標に対応します。cは、しばしば半径ベクトルまたはスカラーと呼ばれます 、\(\theta\)は一般数の位相角です。
通常、長方形の形式\(a + jb\)の方が便利ですが、極形式\(c(\cos \theta + j \sin \theta \)が望ましい場合があり、ある形式から別の形式への変換が頻繁に適用されます。
 


Addition and Subtraction.

加算と減算
20. \(a_1 + jb_1 = 6+2.5j\) が点\(P_1\)で表される場合、この点は、水平距離\(a_1 = 6\) および垂直距離\(b_1 = 2.5\) になります。\(a_2+jb_s = 3+4j\) が点\(P_2\)で表される場合、この点に到達するには、水平距離\(a_2 = 3\)および垂直距離\(b_2 = 4\)を移動します。
2つの一般数の合計、\((a_1+j_b1) + (a_2+jb_2) = (6+2.5j) + (3+4j)\) を、点\(P_0\)とすると、\( P_1\)と\(P_2\)の水平距離の合計に等しい水平距離 \(a_0 = a_1 + a_2 = 6+3=9\) と、\( P_1\)と\(P_2\)の垂直距離の合計に等しい垂直距離 \(b_0 = b_1 + b_2=2.5+4=6.5\)を移動することで到達します。したがって、合計は一般数で与えられ、
$$
\begin{align}
&a_0 + jb_0 = (a_1+a_2)+j(b_1+b_2)=9+6.5j
\end{align}
$$
幾何学的に、点\(P_0\)は点\(P_1\)と\(P_2\)からできますが、図15に示すように、\(\overline{OP_1}\)および(\overline{OP_2}\)を辺として構築された平行四辺形\(O P_{1} P_{0} P_{2}\) の対角線\(\overline{OP_0}\)になり、一般数の加算は平行四辺形の法則による幾何学的組み合わせを表します。
逆に、\(P_0\)が数
$$
\begin{align}
&a_0 + jb_0 = 9+6.5j
\end{align}
$$
で、\(P_1\)が数、
$$
\begin{align}
&a_1 + jb_1 = 6+2.5j
\end{align}
$$
の時、これらの数の差は、\(P_2 \) で表されます。点\(P_2\)は、点\(P_0\)と\(P_1\)の水平距離と垂直距離の差をたどることによって到達します。したがって、\(P_2\)は、
$$
\begin{align}
&a_2 = a_0 – a_1 = 9-6 = 3 \\\\
& b_2 = b_0 – b_1 = 6.5-2.5 = 4
\end{align}
$$
で表されます。したがって、2つの一般数 \(a_0+jb_0\)と\(a_1+jb_1\) の差は、一般数で与えられます。
$$
\begin{align}
&a_2 + jb_2 = (a_0 – a_1) + j(b_0 – b_1) – 3 + 4j
\end{align}
$$

この差\(a_2 + jb_2\)は、平行四辺形\(O P_1 P_0 P_2\)の片側の辺OP2で表され、この平行四辺形の\(O P_1\)は反対側の辺、対角線は\(O P_0\)になります。
したがって、一般数の減算は、平行四辺形の法則により、ベクトル\(\overline{OP_0}\)は2つのベクトル\(\overline{OP_1}\)および\(\overline{OP_2}\)に幾何学的に分解できます。
ここに工学計算で一般数を使用する主な利点があります。ベクトルが一般数(複雑な量)で表される場合、平行四辺形の法則によるベクトルの足し算と分解は、それらの一般数の、値、つまり代数の最も単純な操作による、単純な加算または減算によって実行されます。

 

21. 一般数は通常、大文字で示され、それらの長方形の要素、通常数、および直角位相の数字は、小文字で表されます。

$$
\begin{align}
&A = a_1 + ja_2
\end{align}
$$

座標中心から一般数Aを表す点の距離は絶対値と呼ばれ、一般数または複素量の、半径またはスカラーを表します。 これは、一般数の極座標表現におけるベクトルaです。
$$
\begin{align}
&A = a(\cos \theta + j \sin \theta)
\end{align}
$$
であり、\(a = \sqrt{a_1^2 + a_2^2}\)。
一般数の絶対値またはスカラーは通常、小文字でも表記されますが、大文字で示されることもあります。後者の場合、後者に異なる字体を使用するか、下線を引くか点を付けることで一般数と区別されます。
$$
\begin{align}
& \dot{A} = a_1 + ja_2 \hspace{10 px}  or \hspace{10 px} \mathrm{A} = a_1 + ja_2 \\\\
& a = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \hspace{10 px}  or \hspace{10 px} A = \sqrt{a_1^2 + a_2^2} \\\\
\end{align}
$$

22. 一般数の絶対値またはスカラーは、常に絶対数または正です。つまり、方向を表す成分は角度\(\theta\)で表されます。図16を参照してください。

$$
\begin{align}
& \dot{A} = a_1 + ja_2 = 4 + 3j \\\\
gives, \quad & a =  \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 5 \\\\
& \tan \theta = 3/4 = 0.75 \\\\
& \theta = 37°  \\\\
and \quad & \dot{A} = 5(\cos 37° + j \sin 37°)
\end{align}
$$

また、別の場合、

$$
\begin{align}
& \dot{A} = a_1 + ja_2 = 4 – 3j \\\\
gives, \quad & a =  \sqrt{a_1^2 + a_2^2} = 5 \\\\
& \tan \theta = -3/4 = -0.75 \\\\
& \theta = -37° \hspace{10px} or \hspace{10px}  =180-37 = 143° \\\\
and \quad  \dot{A} & = 5(\cos (-37°) + j \sin (-37°)) \\\\
& = 5(\cos 37° – j \sin 37°)
\end{align}
$$

 

 

\(\theta\)の2つの値のどちらが正しいかは、条件 \(a_1 = a cos \) からわかります。\(a_1\)が正の場合、+ 4であるため、\(cos \theta\) は正でなければなりません。ここで、\(cos(-37°)\) は正、\(cos 143°\)は負になります。したがって、前者の値が正しい値です。

そのような2つの(4+3j)と(4-3j)のような一般数、すなわち、

$$
\begin{align}
& (a+jb) \quad and \quad (a-jb)
\end{align}
$$

を共役複素数と言います。これらの掛け算は普通のものであり、以下のように一般数ではなくなります。

$$
\begin{align}
& (a+jb) (a-jb) = a^2 + b^2
\end{align}
$$

ここで、

$$
\begin{align}
& \dot{A} = a_1 + j a_2 = -4+3j  \\\\
gives  \qquad & a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=5 \\\\
& tan \theta = – \frac{3}{4} = -0.75 \\\\
& \theta=-37°, or =180-37=143°
\end{align}
$$

ただし、\(a_1 = a cos\theta\)はマイナス-4であるため、\(cos \theta\) はマイナスでなければならないため、\(\theta = 143°\)が 正しい値であり、

$$
\begin{align}
\dot{A} &= 5(cos 143°+j sin 143°) \\\\
&=5(- cos 37° + jsin 37°)
\end{align}
$$

ここで、

$$
\begin{align}
& \dot{A} = a_1 + j a_2 = -4-3j  \\\\
gives  \qquad & a=\sqrt{a_1^2+a_2^2}=5 \\\\
& \theta= 37°, or =180+37=217°
\end{align}
$$

ただし、\(a_1 = a cos \theta\)はマイナス-4であるため、\(cos \theta\)はマイナスでなければならないため、\(\theta = 217°\)が正しい値であり、

$$
\begin{align}
\dot{A} &= 5(cos 217°+j sin 217°) \\\\
&=5(- cos 37° – jsin 37°)
\end{align}
$$

4つの一般数、+4+3j, +4-3j, -4+3j,  -4-3j は同じ絶対値5を持ち、図16に示すように、平面内の点が4つの象限に対称的な位置を持っています。

一般数 \( A= a_1 + ja_2\)が平面でのベクトルの表現に主に使用されるため、非常に頻繁にベクトル量と呼ばれ、一般数の代数はベクトル解析として話されます。

一般数\( \dot{A} = a_1 + j a_2\)は平面の点を表すために作成できるため、平面数と呼ばれることもあります。一方正および負の数である、+aおよび-aは点と点の線を表すため線形数と呼ばれることもあります。


Examole: Steam Path in a Turbine.

例: タービンの蒸気経路

23. 一般数を使用した簡単な操作の例として、インパルス蒸気タービンの二輪ステージの蒸気経路を計算できます。

図17がタービンホイールのバケットリングを通る接線方向断面を概略的に表すとします。 \(W_1\)および\(W_2\)は2つの回転する車輪であり、矢印で示される方向に、速度 s=400フィート毎秒で移動します。 \(l\)は第1のバケットホイール\(W_1\)からの排気蒸気を第2のバケットホイール\(W_2\)に衝突するのに必要な方向に戻す静止中間バケットです。蒸気噴流は、第1のバケットホイール\(W_1\)に対して、\(s_0=2200\)フィート/秒の速度で、かつ\(\theta_0 = 20°\)の角度で膨張ノズルから出ます。

連続する3列のバケット\(W_1,l, W_2\)の排気角度は、それぞれ、24°, 30°, 45°である。これらの角度は、ここでは重要ではない方法で、瞬間的な速度で蒸気を通過させるのに必要なバケット出口の断面から、および蒸気渦を与えないのに必要な通路の高さから計算される。

バケット通路内の摩擦係数は\(kf=0.12\)と仮定することができるので、 すなわち、出口速度は、バケット内の蒸気の入口速度は\(1-kf = 0.88\)です。

 

次に、タービンホイールの接線速度の方向をy軸として、軸方向をy軸として選択すると、膨張ノズルからの蒸気供給の速度は、長さ\(s_0 =2200\)フィート毎秒、x軸からの角度\(theta_0= 20°\)のベクトル\(\bar{OS_0}\)によって図18に表される。したがって、一般数またはベクトル量で表すことができます。

$$
\begin{align}
\dot{S_0} &= s_0 (cos \theta_0 + j sin \theta_0) \\\\
&=2200(cos 20° + j sin 20°) \\\\
&=2070+750j \ ft. per.sec
\end{align}
$$

タービンホイール\(W_1\)の速度は、毎秒400フィートであり、図18では、水平方向においてベクトル\(\bar{OS}\)によって表されている。

したがって、蒸気が第1のタービンホイール\(W_1\)のバケット通路に入る相対速度は、以下である。

$$
\begin{align}
\dot{S_1} &= s_0  – s \\\\
&=(2070 + 750 j ) – 400 \\\\
&=1670+750j \ ft. per.sec
\end{align}
$$

このベクトル\(\bar{OS_1}\)は図18に示されています。

したがって、蒸気がバケット通路に入る角度\(\theta_{1}\)は、以下のようになります。

$$
\begin{align}
& \tan \theta_{1} = \frac{750}{1670} = 0.450,  \quad as \quad \theta_{1} = 24.3 \ deg.
\end{align}
$$

したがって、この角度は、タービンホイール\(W_1\)のバケットの前縁(front edge)に与えられなければならない。

バケット通路への入口での蒸気ジェットとタービンホイール\(W_1\)の相対速度の絶対値は、

$$
\begin{align}
& s_1 = \sqrt{1670^2+750^2} = 1830 \ ft. \ per. \ sec.
\end{align}
$$

バケットの通路を移動する際、蒸気の速度は、入口の値\(s_1\)から出口の値まで、摩擦などによって減少します。

$$
\begin{align}
& s_2 = s_1(1-k_f) = 1830 \times 0.88 \ ft. \ per. \ sec.
\end{align}
$$

そして、バケット通路の出口角度が選択されているため \(\theta_2 = 24\)度として、蒸気が第1のバケットホイール\(W_1\)を離れる相対速度は、図18のベクトル\(\bar{OS_2}\)で表され、角度24度で長さ\(s_2 = 1610\)になります。

蒸気は、図17に示すように、最初のホイールから後方に出ます。 したがって、蒸気ジェットと負のx軸の間の角度です。 したがって、\(\theta_2 = 180 -24 = 156\)度のベクトル角度です。 したがって、ホイール\(W_1\)からの出口における相対蒸気速度は、ベクトル量によって表すことができます。

$$
\begin{align}
\dot{S_2} &= s_2(\cos \theta_2 + j \sin 156 \theta 2 )  \\
& = 1610(\cos 156 \ deg. + j \sin 156 \ deg. \\
& = -1470 + 655j
\end{align}
$$

タービンホイールの速度\(W_1\)はs = 400なので、最初のタービンホイールを離れた後の空間内の蒸気の速度、つまり、蒸気が中間に入る速度\(I\)は、

$$
\begin{align}
\dot{S_3} &= \dot{S_2}  + s \\\\
& = (1470+655j) + 400 \\\\
& = -1070 + 655j
\end{align}
$$

これは、図18のベクトル(\bar{OS_3}\)で表されます。
この蒸気ジェットの方向は、以下のようになります。

$$
\begin{align}
&\tan \theta_3 = – \frac{655}{1070} = -0.613 \\\\
as \qquad \theta_3 & = -31.6 \ deg. \quad or \qued 180-31.6 = 148.4 \ deg.  
\end{align}
$$

\(\cos \theta_3\) は負で



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