Engineering mathematics(1) 数学の超初歩から

ニコラ・テスラの電磁気, 永久機関

スタインメッツ全集1つめのEngineering mathematicsを読んできます。エンジニアのための数学ですね。とりあえずこの数学を抑えておけば電磁気はいけるらしいです。

vol1 Engineering mathematics

内容はまず数の成り立ちからやるという、、、そしてすごいスピードで、大学数学初歩くらいまでいきます。


CHAPTER1. THEGENERAL NUMBER
A. THE SYSTEM OF NUMBERS
Addition and Subtraction.

加算と減算

1. 数を数えると測定の操作から、計算、算術、台数、数学の全体構造の技術が生まれました。数値の最初の概念は大小といった曖昧で粗雑のものでしたが、結び目などを数えることや測定の技術から、最も単純な算術演算が生まれました。したがって、僕らは馬の群を数えることができます。

$$
\begin{align}
&1,2,3,4,5
\end{align}
$$

そして、2つ目の馬の群、

$$
\begin{align}
&1,2,3
\end{align}
$$

2番目の群と最初の群を一つの群にして、それらを数えます。つまり、

$$
\begin{align}
&1,2,3,4,5,ー,6,7,8
\end{align}
$$

これは加算で与えられ、

$$
\begin{align}
&5+3=8
\end{align}
$$

一般的には、

$$
\begin{align}
&a+b=c
\end{align}
$$

2番目の馬の群をもう一度引き抜くことがあります。つまり、馬の群全体を数え、次に引き抜いた馬の数を数えます。その時、僕らはこのように数えます。

$$
\begin{align}
&1,2,3,4,5,6,7,8,ー,7,6,5
\end{align}
$$

これは、減算で与えられ、

$$
\begin{align}
&8-3=5
\end{align}
$$

となります。一般的には、

$$
\begin{align}
&c-b=a
\end{align}
$$

2. 他のグループと一緒にグループをまとめることの逆は、グループを奪うことです。従って、減算は加算の逆です。そして、すぐに加算と減算の本質的な違いに気づきます。それは以下の例によって説明されるかもしれない。

$$
\begin{align}
&Addition: 5 \ horses + 3 \ horses \ gives \ 8 horses, \\\\
&Subtraction: 5 \ horses – 3 \ horses \ gives \ 2horses,\\\\
&Addition: 5 \ horses + 7 \ horses \ gives \ 12 horses,\\\\
&Subtraction: 5 \ horses – 7 \ horses \ is \ impossible.\\\\
\end{align}
$$

よって、僕らはいつでも加算はできますが、いつでも減算することはできません。減算は常に可能ではありません。

測定でも同じ関係が得られます。始点A(図1)からの距離を段階的に測定し、次に2番目の距離を測定し、始点からの合計距離を加算で求めることができます。AからBまで5ステップで、BからCまで3ステップの時、AからCまでの距離は、8ステップです。

$$
\begin{align}
&5 \ steps+3 \ steps=8 \ steps
\end{align}
$$

あるいは、ある距離を離れてから戻ることで、別の距離を差し引くこともできます。(図2)

この時、AからBまで5ステップ進んで、BからCまで3ステップ戻ると、AからCまでは2ステップです。
$$
\begin{align}
&5 \ steps-3 \ steps=2 \ steps
\end{align}
$$

馬の例では不可能だった減算のケースを試してみて、5ステップ-7ステップはいくらになるかを考えます(図3)。始点Aから5ステップ進んで7ステップ戻ることを考えます。これは可能な時もあるし、できない時もあります。始点Aの後ろが石の壁だった場合は不可能でしょう。始点Aがただのチョークマークだった場合は、始点Aを超えて戻ることができるかもしれません。

この時、C地点では、図2の時と同じように2ステップ離れています。

$$
\begin{align}
&5 – 3 = 2 \quad (Fig.2), \\
&5 – 7 = 2 \quad (Fig.3)
\end{align}
$$

この時、5から7を引いた時と、5から3を引いた時は同じ距離が得られます。

しかし、図3の距離ACは、図2と性質が異なります。一方は左方向、他方は右方向です。つまり、2種類の距離単位があります。 右にあるものと左にあるもの、そしてそれらを区別する何らかの方法を見つけなければなりません。 図3の距離2は始点Aの左側、つまり減算するときに進む方向であるため、次のように呼び出すことで図2の距離2と区別するのが自然になります。 前者が-2であるのに対し、図2では距離ACを+2と呼んでいますが、これはAからの方向であるため、加算するステップです。

これらは、絶対数(絶対値をとった数)の分類に使えて、2つに分けることができます。
$$
\begin{align}
&1,2,3,…
\end{align}
$$

一つは正の数で、

$$
\begin{align}
&+1,+2,+3,…
\end{align}
$$

もう一つは、負の数で、

$$
\begin{align}
&-1,-2,-3,…
\end{align}
$$

そして、負の数の導入によって、減算の数学的演算をいつでも実行することができます。

$$
\begin{align}
&c – b = a
\end{align}
$$

bがcよりも大きい場合、aは負の数になります。

3. 負の数と負の単位-1は経験と普遍的に一致するものではなく、数学的フィクションであり、負の数は常に実際の物理的の条件を表すものではありません。

自然現象への数の適用では、負の数は物理的な意味で、正の数の逆として表現されます。 これができない場合もあります。 たとえば、5頭の馬-7頭の馬= -2頭の馬には物理的な意味はない。負の数の馬は存在せず、5頭-7頭は不可能で、2頭は行方不明であると表現することによってのみ関係を表現できます。

同様に、5本の足のろうそくを照らし、3本の足のろうそくを抜くと、2本の足のろうそくが照らされます。

$$
\begin{align}
&5 \ foot \ candles -3 \ foot \ candles =2 \ foot \ candles
\end{align}
$$

5本の足のろうそくから7本の足のろうそくを抜くことで、照度を下げることを試みれば、それは不可能と思われるでしょう。 2本の足のろうそくは消灯することはできません。 限界はゼロの照度、つまり真っ暗です。

5フィートの長さの弦から、2フィートを残して3フィートを切り取ることができますが、7フィートを切り取ることはできず、-2フィートの弦になります。このような場合、負の数は無意味であり、単なる想像上の数学的フィクションです。気温が5度の場合 から3度下がる場合は2度になり、7度下がれば氷点下2度になります。このケースは、物理的に現実のものを表現します。

$$
\begin{align}
&+5 \ deg. \ cent. -3 \ deg. \ cent  = +2 \ deg. \ cent \\\\
&+5 \ deg. \ cent. -7 \ deg. \ cent  = -2 \ deg. \ cent
\end{align}
$$

つまり、この範囲の温度スケールでは、負の数は正の数と同様に物理的に存在します。

同じことが時間的にも当てはまります。現在から出発点までの未来の時間を正の数で表し、過去の時間を負の数で表すことができます。 しかし、過去の時間を正数で表したものでもよくて、その時未来の時間は負の数で表されます。 このような、そして他のほとんどの物理的な用途では、負の数は正の数と同等で交換可能であるように見えます。私たちは正として任意の方向を選ぶことができ、逆方向は負です。 数学的には、正の数と負の数には違いがあり、正の単位数はそれ自体で乗算されても正の単位数のままですが、負の単位数はそれ自体で乗算されても負の単位数のままにはなりません。

$$
\begin{align}
&(+1) \times (+1) = (+1) \\
&(-1) \times (-1) =(+1), \ and not = (-1)
\end{align}
$$

南緯5度から、北に7度に進むと、北緯2度になります。 南緯は、こう表現することができます。

$$
\begin{align}
&+5 \ deg. \ latitude -7 \ deg. \ latitude = -2 \ deg. \ latitude
\end{align}
$$

したがって、南緯と北緯、東経と西経、未来と過去、資産と負債など、直線上で左右に2つの反対方向があるすべての場合において、負の数は適用できます。 馬の数を数える、照度を測定するなどの、種類や方向が1つしかない場合は、負の数で表されるような物理的な意味はありません。 意味が見つけられることもあるかもしれません。まだ他のケースがあります。 たとえば、ポケットに5ドルを持っている場合、7ドルを奪うことはできません。 銀行に5ドルあれば、7ドルを引き出すことができる場合もあります。この場合、5ドル-7ドル= 2ドルの借金となります。

しかし、いずれにせよ、負の数は物理的なものではなく、それが適用される物理的条件に依存して、物理的表現を見いだしたりしなかったりする数学的概念であることを理解しなければなりません。したがって、負の数は、適用される場合に応じて虚数\(\sqrt -1\)と同じように想像上のものです。

唯一の違いは負の数には幼いころから親しんできたことです。 負の数を使うにつれて、それは当たり前のものになり、それが数学的概念であり物理的現実ではないことを認識しません。しかし、最初にそれを学んだとき、そして5-7は不可能ではなく、5-7=-2と言うのに慣れるのは大きなステップでした。


Multiplication and Division.

乗算と除算

4. ここで、4頭の馬と4頭の馬、そしてさらに4頭の馬があり、それぞれ4頭の馬の3つの群を足し合わせると、

$$
\begin{align}
& 4 \ horses + 4 \ horses + 4 \ horses = 12 \ horses
\end{align}
$$

そして、これを僕らはこう表現します。

$$
\begin{align}
& 3 \times 4 \ horses = 12 \ horses
\end{align}
$$

したがって、多重加算の演算は次の演算、すなわち乗算につながります。 乗算は複数の加算です。

$$
\begin{align}
& b \times a = c
\end{align}
$$

つまり、

$$
\begin{align}
& a + a + a + …(b terms) = c
\end{align}
$$

加算と同じように、乗算も常に実行できます。

それぞれ4頭の馬からなる3つのグループが12頭の馬になります。 逆に、馬が12頭いて、それらを3つの等しいグループに分けた場合、グループには4頭の馬が含まれています。 これは、乗算の逆演算、つまり除算になるので、次のようになります。

$$
\begin{align}
& \frac{12 \ horses}{3} = 4 \ horses
\end{align}
$$

一般的に、

$$
\begin{align}
& \frac{c}{b} = a
\end{align}
$$

もし、12頭の馬を持っていて、2つの同じグループに分ける時、

$$
\begin{align}
& \frac{12 \ horses}{2} = 6 \ horses
\end{align}
$$

4つなら、

$$
\begin{align}
& \frac{12 \ horses}{4} = 3 \ horses
\end{align}
$$

今、私たちが12頭の馬を5つの等しいグループに分けようとすると、できないことがわかります。 各グループに2頭の馬がいる場合、2頭の馬が残ります。 各グループに3頭の馬を入れたとすると、5グループを作るのに十分ではありません。 つまり、12頭の馬を5で割ることは不可能です。 あるいは、我々が通常言うように。 12頭の馬を5頭で割ると2頭の馬と2頭の馬が残り、これは次のように書かれています。

$$
\begin{align}
& \frac{12}{5} = 2, \ reminder \ 2
\end{align}
$$

このように、乗算、すなわち除算の逆演算が常に実行できるとは限らないことがわかります。

5. リンゴが10個あり、それらを3個に分割すると、各グループに3個のリンゴができ、残りの1個のリンゴが残ります。

$$
\begin{align}
& \frac{10}{3} = 3, \ reminder \ 1
\end{align}
$$

この時、残りの1つのリンゴを3等分すると、

$$
\begin{align}
& \frac{10}{3} = 3 + \frac{1}{3} = 3 \frac{1}{3}
\end{align}
$$

同様に、リンゴが12個ある場合、2個のリンゴを5個の等しい部分にカットすることによって5個に分割し、5個のグループ、2個のリンゴと2個の各グループに入れることができます。

$$
\begin{align}
& \frac{12}{5} = 2 + 2 \times \frac{1}{5} = 2 \frac{2}{5}
\end{align}
$$

すべての数値に対して除算の演算を実行できるようにするには、元の単位より小さく、その一部として派生する新しい単位を導入する必要があります。

したがって、長さ10フィートのひもを3つの等しい部分に分割すると、各部分には3フィートが含まれ、1フィートが残ります。 1フィーとは12インチでできており、12インチを3に分割すると4インチになります。 したがって、10フィートを3で割ると、3フィート4インチになります。

除算は僕らを新しい形の数、すなわち分数に導きます。

ただし、この分数は数学的概念にすぎず、時には適用可能であり、時には負の数と同じではありません。5頭のグループに分けられた12頭の馬の上の例では、分数は適用できません。

$$
\begin{align}
& \frac{12 \ horses}{5} =  2 \frac{2}{5} \ horses
\end{align}
$$

これは不可能です。この試みで得られるのは5つのグループで、それぞれ2頭の馬といくつかの死体で構成されています。

したがって、分数の数学的概念は、より小さな単位に分割することができる物理量には適用可能ですが、目に見えないもの、または私たちが通常呼ぶような個体には適用できません。


Involution and Evolution.

べき乗とべき乗根

involutionは現代では、ある関数の逆関数を意味します。しかし、古い使われ方では、べき乗を意味します。べき乗は\(a^b\)で現れるものを表し、累乗はbが自然数であるような場合に言います。同様に、evlutionは古い使われ方では、べき乗根を表すようです。

6. 場合によっては、次のように複数の同じ操作をします。

$$
\begin{align}
& 4 \times 4 \times 4=64
\end{align}
$$

つまり、

$$
\begin{align}
& 4^3=64
\end{align}
$$

一般的には、

$$
\begin{align}
& a^b=c
\end{align}
$$

このように、等しい項の複数の加算が乗算をもたらすのと同じように、等しい項の複数の乗算は次の代数演算をもたらします。多重乗数として定義されるべき乗演算です。

指数bは整数である必要があります。したがって\(4^{-3}\)は直接的な意味を持ちません。定義によりそれ自身で4倍(-3)回掛けます。

4で連続的に割ると、\(4^6 \div 4 = 4^5;  \quad 4^5 \div 4 = 4^4: \quad 4^4 \div 4 = 4^3; etc.\)となります。そして、この4による連続分割をさらに続けると、次のようになります。

$$
\begin{align}
& \frac{4^3}{4} = \frac{4 \times 4 \times 4}{4} = 4 \times 4 = 4^2 \\\\
& \frac{4^2}{4} = \frac{4 \times 4}{4} = 4 = 4^1 \\\\
& \frac{4^1}{4} = \frac{4 }{4} = 1 = 4^0 \\\\
& \frac{4^{0}}{4} = \frac{1}{4} = \frac{1}{4} = 4^{-1} \\\\
& \frac{4^{-1}}{4} = \frac{1}{4} \div 4 = \frac{1}{4 \times 4} = 4^{-2} = \frac{1}{4^2} \\\\
& \frac{4^{-2}}{4} = \frac{1}{4^2} \div 4 = \frac{1}{4 \times 4 \times 4} = 4^{-3} = \frac{1}{4^3} \\\\
\end{align}
$$

一般的には、

$$
\begin{align}
&a^{-b}=\frac{1}{a^b}\\\\
&a^0=1
\end{align}
$$

従って、\(a^{-b}\)のような、負の数のべき乗は、同じだけの正のべき乗の逆数です。

 

7. べき乗の定義から次のようになります。

$$
\begin{align}
&a^{b} \times a^n=a^{b+n}
\end{align}
$$

なぜなら、\(a^b\)は、aをb回掛けた時の値を意味し、\(a^n\)は、aをn回掛けた時の値を意味するので、\(a^b \ times a^n\)は、aをb+n回掛けた時の値を意味します。例えば、

$$
\begin{align}
&4^3 \times 4^2= (4 \times 4 \times 4) \times (4 \times 4) = 4^5
\end{align}
$$

ここで、べき乗数をべき乗したらどうなるかという別の疑問が湧きます。これは、数学的な操作できます。例えば、

$$
\begin{align}
&(4^3 )^2= 4^3 \times 4^3 = (4 \times 4 \times 4) \times (4 \times 4 \times 4) = 4^6
\end{align}
$$

同様に、

$$
\begin{align}
&(a^b)^n= a^{bn}
\end{align}
$$

また、

$$
\begin{align}
&(a^b)^n= (a^n)^b
\end{align}
$$

冪乗根の順序は重要ではありません。
したがって、多重べき乗はそれ以上代数的にはなりません。

この流れで行くと、\(x^{x^{x^{x^x}}}(y回) = {^{y}x}\)と言った、テトレーションと呼ばれる操作があります、べき乗の繰り返しです。そして、それを繰り返していくと・・・無限にできます。巨大数というただでかい数をいかに作るかというイかれた分野もあったりします。

8. 逆に、64は3つの等しい要素の積に変換できます。要素はそれぞれ4になります。involution(べき乗)の逆演算はevolution(べき乗根)と呼ばれ、このように書けます。

$$
\begin{align}
&\sqrt[3]{64} = 4
\end{align}
$$

一般的には、

$$
\begin{align}
&\sqrt[b]{c} = a
\end{align}
$$

\(\sqrt[b]{c}\)は数aとして定義され、この数をb乗するcに戻ります。つまり、

$$
\begin{align}
&(\sqrt[b]{c})^b = c
\end{align}
$$

これまで、べき乗は正または負の数に対してのみ定義されていました。そして、新たな疑問が湧きます。分数の指数、\(c^{\frac{1}{b}}\)や\(c^{\frac{n}{b}}\)は何を意味するのでしょうか。
ここで、

$$
\begin{align}
&(c^{\frac{1}{b}})^b = c^{b \times \frac{1}{b}} = c^1 = c
\end{align}
$$

\(c^{\frac{1}{b}}\)はb乗すると、cになる数だと思われます。つまり、\(c^{\frac{1}{b}}\)は\(\sqrt[b]{c}\)であり、べき乗根の操作は、分数の指数として表すことができます。

$$
\begin{align}
&c^{\frac{1}{b}} = \sqrt[b]{c}
\end{align}
$$

そして、

$$
\begin{align}
&c^{\frac{n}{b}} =(c^{\frac{n}{b}})^b= (\sqrt[b]{c})^n \\\\
&c^{\frac{n}{b}} =(c^n)^{\frac{1}{b}}= \sqrt[b]{c^n}
\end{align}
$$

そして、

$$
\begin{align}
&(\sqrt[b]{c})^n =\sqrt[b]{c^n}
\end{align}
$$

そして、明らかに、

$$
\begin{align}
&\sqrt[\frac{1}{b}]{c} = c^b, \ \ \sqrt[\frac{n}{b}]{c} = c^{\frac{b}{n}}, \\\\
&\sqrt[-b]{c} = c^{- \frac{1}{b}} = \frac{1}{c^{\frac{1}{b}}} = \frac{1}{\sqrt[b]{c}}
\end{align}
$$

 


Irrational Numbers.

無理数

9. \(4^3\)のような整数の指数による冪乗は常に計算できます。多くの場合、冪乗根も計算することができます。例えば、

$$
\begin{align}
&\sqrt[3]{64} = 4,  \\\\
&\sqrt[2]{4} = 2
\end{align}
$$

一方、計算できないケースもあります。例えば、

$$
\begin{align}
&\sqrt[2]{2} = ?
\end{align}
$$

計算しようとすると、このような値を得ます。

$$
\begin{align}
&\sqrt[2]{2} = 1.4142135…,
\end{align}
$$

そして、計算をどこまでしても、決して終わることがなく、無限小数を取得します。このように、\(\sqrt[2]{2}\)と表現される数は、数字のシステムの中で表現できる数ではありません。我々は近似をすることができるだけで、必要な程度まで近似を実行します。 \(\pi\)のようないくつかの数値は、数百の小数まで計算されています。

\(\sqrt[2]{2}\)などの数値は、有限形式で表現することはできませんが、単に近似しているだけであり、無理数と呼ばれます。 名前は、負の数または虚数の名前と同じくらい間違っています。 \(\sqrt[2]{2}\)に不合理なものはありません。1フィートを辺とする正方形を描くと、対角線の長さは\(\sqrt[2]{2}\)フィートで、正方形の対角線の長さは明らかに辺の長さと同じくらい合理的です。

無理数はこのように、実数であり、既存の数であり、整数、分数、有限小数で表現することはできませんが、無限小数を繰り返します。

一般的な分数を小数として表現する場合、無限小数にしばしばなることがあります。 ただし、これらの一般的な分数の10進表現は、循環小数、つまり数値が定期的に繰り返され、この点で無理数とは異なります。 たとえば、2.1387387…を考えると、

$$
\begin{align}
&x = 2.1387387…,\\\\
&1000x = 2138.7387387…,\\\\
&999x = 2136.6 \\\\
\end{align}
$$

したがって、

$$
\begin{align}
&x = \frac{2136.6}{999} = \frac{21366}{9990} = \frac{1187}{555} = 2 \frac{77}{555}
\end{align}
$$


Quadrature Numbers.

直交数

10. 以下の方程式

$$
\begin{align}
&\sqrt[2]{+4} =(+2)
\end{align}
$$

はこのように書くことができる

$$
\begin{align}
&(+2) \times (+2) = (+4)
\end{align}
$$

しかし、もう一つの方程式

$$
\begin{align}
&\sqrt[2]{+4} =(-2)
\end{align}
$$

はこのように書くことができる

$$
\begin{align}
&(-2) \times (-2) = (+4)
\end{align}
$$

したがって、$$\sqrt[2]{+4}$$ \(\lambda \sqrt[2]{+4}\)には、(+2)と(-2)の2つの値があり、冪乗根の過程で最初に興味深い特徴を見つけます。一つの数値から、いくつかの異なる結果が得られます。

正の数と負の数はすべて正の数の平方根として全て使われるため、負の数の平方根とは何かという疑問が生じます。 たとえば、\(\sqrt[2]{-4}\)は-2にはなりません。-2も+2も2乗は4になります。

$$
\begin{align}
&\sqrt[2]{-4} = \sqrt[2]{4 \times (-1)} = \pm 2\sqrt[2]{-1}
\end{align}
$$

となります。ここで、このような疑問が湧きます。\(\sqrt[2]{-1}\)はなんなのでしょうか?

我々は経験から絶対数を導き出しました。例えば、開始点Aから図4の線上の距離を測定することによってです。

次に、Aから同じ距離を2回、1回は右に、1回は左に移動すると、数値が正の数と負の数に再分割されることがわかりました。 図4で、正の値を右に選択すると、負の数は左になります(または、逆に、左に正を選択すると、右に負になります。)

次に、距離ABを表す+2のような数値を取り、(-1)を掛けると、Aから反対方向に距離AC=-2を得ます。逆に、AC = -2に、(-1)を掛けると、AC = + 2が得られます。 つまり、(-1)を掛けると方向が反転し、180度回転します。

+2に\(\sqrt{-1}\)を掛けると、\(+2 \sqrt{-1}\)を得ます。これは私たちがまだ知らない量です。もう一度\(\sqrt{-1}\)を掛けることによって、\(+2 \times \sqrt{-1} \times \sqrt{-1} = -2\)を得ます。このように+2に2回\(\sqrt{-1}\)を掛けることによって、180°回転し、\(\sqrt{-1}\)を掛けることはこのように、180°の半分、90°を回転することに相当します。そして、\(+2 \sqrt{-1}\)はこのように、90°を回転した方向に+2の距離で位置しています。図5の直交方向ADで、\(+2 \sqrt{-1}\)などの数字は直交数です。つまり、正の数として右に向かうのではなく、負の数として左に向かうのではなく、上方向または 下向きに向かいます。

記述の便宜上、\(\sqrt{-1}\)は通常文字\(j\)として表記します。

虚数のことを意識的に直交数(quadrature number)と呼んでいるようです。虚数(imaginary number)という表現も使っていたので、意識的にでしょう。数学では虚数(直交数)は\(i\)で表しますが、電磁気学が入ると、電流が\(i\)なので、\(j\)で表すことが多いです。

11. 減算の操作によって、180度の方向を持つ新しい種類の数が導入されたように、 異なる、つまり正の数に対して、冪乗根の操作は、90度の方向を持つ新しい種類の数\(j\)として直交数が導入されます。つまり、図6に示すように、正の数と負の数に直角です。

 

このように、数学的に直交数は負の数と同じくらい現実的であり、物理的に時には負の数は2つの反対方向が存在する場合に意味を持ちます。 一方向のみが存在する場合には意味がない場合があります。 したがって、直交数は、4つの方向が存在する場合には物理的な意味を持つこともあり、2つの方向のみが存在する物理的な問題には意味がないこともあります。

たとえば、平面で交流ベクトルを議論する電気工学のように、平面幾何を扱う問題では、直交数は垂直を表し、通常の数は水平方向を表し、一方の水平方向は正、もう一方は負、同様に、一方の垂直方向は正で、もう一方は負です。図6に示すように、通常、正と右が選択され、左と下が負に選択されます。他の問題では、過去と未来の2つの方向しかない時間を扱う場合、正と負の数のみで直交数は適用されません。 照明や個人を扱う場合など、さらに他の問題では、負の数は適用できず、絶対数または正の数のみが適用されます。

負の単位(-1)の乗算が180度の回転、または方向の逆を意味するように、直交単位\(j\)の乗算は、90度の回転、または水平方向から垂直方向への反時計回りの回転を意味します。

 



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